Teoria dell’omologia
Assiomi di Eilenberg-Steenrod per l'omologia. Omologia singolare con coefficienti, verifica degli assiomi. Omologia ridotta, successioni esatte di Mayer-Vietoris, successioni esatte per le triple. Gruppi di omologia delle sfere, teorema di non retrazione, teorema del punto fisso di Brouwer, teorema di separazione di Jordan-Brower, teoremi di invarianza della dimensione e del dominio. Assiomi di Eilenberg-Steenrod per la coomologia. Coomologia singolare con coefficienti, verifica degli assiomi. Successioni esatte in coomologia, prodotto di Kronecker, relazioni tra omologia e coomologia, coomologia a coefficienti in un campo. Complessi cellulari finiti, sottocomplessi e scheletri, proprietà di estensione dell'omotopia per sottocomplessi, applicazioni cellulari, teorema di approssimazione cellulare. Omologia cellulare e coomologia cellulare. Calcolo dell'omologia cellulare. Omologia e coomologia di unioni e prodotti. Numeri di Betti e caratteristica di Eulero-Poincaré. Primo gruppo d'omologia come abelianizzato del gruppo fondamentale. Gruppi di omologia e coomologia delle superfici.
Varietà differenziabili
Invarianza topologica della dimensione e del bordo, collari del bordo. Fibrati tangenti e cotangenti. Sottovarietà differenziabili, fibrati normali, intorni tubolari, trasversalità, teorema di approssimazione trasversale. Teorema di immersione di Whitney. Funzioni di Morse, decomposizioni a manici, decomposizioni cellulari regolari. Classi fondamentali e orientazioni, dualità di Poincaré-Lefschetz. Grado di applicazioni tra varietà, teorema di separazione per ipersuperfici negli spazi euclidei, teorema di Hopf. Singolarità di campi di vettori, teorema di Poincaré-Hopf, esistenza di campi di vettori non singolari. Coomologia di De Rham, struttura moltiplicativa, forma duale di una sottovarietà, prodotto esterno e intersezione. Integrazione sulle catene differenziabili, teorema di Stokes, lemma di Poincaré, teorema di de Rham.

B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko e S.P. Novikov, Geometria contemporanea, Ed. Riuniti
V. Guillemin e A. Pollack, Differential topology, Prentice-Hall
J.W. Vick, Homology Theory, Springer
M.W. Hirsch, Differential Topology, Springer
I. Madsen e J. Tornehave, From Calculus to Cohomology, Cambridge Univ. Press
W.M. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology, Springer
J.W. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, Univ. Press of Virginia