Nozioni preliminari. Insiemi, relazioni, funzioni, quozienti. Gruppi, omomorfismi, gruppi di permutazioni e azioni, segnatura. Campi, numeri razionali, numeri reali (separabilità e completezza), numeri complessi (piano di Gauss). Polinomi, teorema fondamentale dell’algebra.
Il piano e lo spazio euclidei. Gli assiomi di Euclide e di Hilbert, la retta euclidea e i numeri reali, proprietà di separazione delle poligonali chiuse nel piano, orientazioni, il postulato delle parallele e le geometrie non euclidee, congruenze e movimenti rigidi. Vettori geometrici, somma vettoriale, prodotto di un vettore per uno scalare, traslazioni e dilatazioni. Norma di un vettore, angolo tra due vettori, prodotto scalare di due vettori, distanza euclidea. Aree e volumi generati da vettori, prodotto vettoriale e prodotto misto. Trasformazioni geometriche (congruenze/isometrie, similitudini, collineazioni/affinità), il programma di Klein.
Geometria analitica del piano e dello spazio. Coordinate cartesiane, vettori e operazioni in termini di componenti, formula della distanza. Trasformazioni geometriche in coordinate, cambiamenti di coordinate, coordinate polari, cilindriche e sferiche. Equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani, distanze (punto-punto, punto-retta, punto-piano), intersezioni e angoli (retta-retta, retta-piano, piano-piano), condizioni di parallelismo e perpendicolarità. Equazioni cartesiane e parametriche di circonferenze e sfere, intersezioni con rette e piani. Coniche e quadriche come luoghi geometrici, intersezioni con rette e piani.
Spazi vettoriali. Dipendenza lineare, basi e dimensione. Sottospazi, somma e intersezione di sottospazi, formula di Grassmann. Sottospazi trasversali/complementari, somma diretta di sottospazi, prodotti e quozienti di spazi vettoriali. Applicazioni lineari, nucleo e immagine, teorema dell’omomorfismo, estensioni lineari di applicazioni definite su basi. Isomorfismi lineari, classificazione degli spazi vettoriali in base alla dimensione, coordinate lineari. Forme lineari, spazio duale, basi duali e isomorfismo indotto (in dimensione finita), isomorfismo canonico con lo spazio biduale, annullatore, applicazione trasposta. Forme bilineari e forme quadratiche, forma bilineare polare di una forma quadratica. Operatori lineari, gruppo degli automorfismi lineari.
Calcolo lineare. Spazi vettoriali numerici. Matrici, rappresentazione matriciale di applicazioni lineari, prodotto tra matrici, invertibilità e matrice inversa, matrici di cambiamento di base. Rango, operazioni elementari e riduzione a scalini. Determinanti, teorema di Laplace, teorema di Binet, criterio di invertibilità, principio degli orlati. Sistemi lineari e sottospazi, teorema di Rouché-Capelli, metodo di Gauss, metodo di Cramer. Forme bilineari e loro rappresentazione matriciale, diagonalizzazione di forme bilineari simmetriche, teorema di Silvester. Operatori lineari e matrici equivalenti, determinante di un operatore lineare, orientazioni di spazi vettoriali reali. Sottospazi invarianti, auto-valori e auto-vettori, polinomio caratteristico, molteplicità algebrica e geometrica di un auto-valore, criteri di triangolarizzazione e diagonalizzazione, forma canonica di Jordan. Gruppo lineare GL(n), gruppo lineare speciale SL(n).
Geometria affine. Spazi affini, vettori liberi e applicati, traslazioni e omotetie. Spazio affine numerico Aⁿ, riferimenti e coordinate affini, cambiamenti di riferimento. Sottospazi affini, spazio direttore e parallelismo, equazioni di sottospazi affini, intersezione di sottospazi affini, teoremi di Talete e Desargues. Trasformazioni affini, rappresentazione matriciale. Gruppo affine A(n), gruppo affine speciale SA(n), struttura dei gruppi affini. Classificazione affine, invarianti affini. Quadriche affini e loro classificazione, riduzione a forma canonica.
Geometria proiettiva. Spazio proiettivo associato a uno spazio vettoriale, spazio proiettivo numerico Pⁿ, riferimenti proiettivi e coordinate omogenee, cambiamenti di riferimento. Sottospazi proiettivi, equazioni omogenee di sottospazi proiettivi, intersezione di sottospazi proiettivi, sistemi lineari di sottospazi proiettivi. Chiusura proiettiva di uno spazio affine, punti propri e impropri, coordinate affini e coordinate omogenee, trasformazioni affini in coordinate omogenee. Dualità proiettiva, teorema di Desargues proiettivo. Trasformazioni proiettive, il gruppo proiettivo PGL(n). Classificazione proiettiva, invarianti proiettivi. Quadriche proiettive, polarità, sistemi lineari di quadriche. Classificazione delle quadriche proiettive, riduzione a forma canonica.
Spazi vettoriali euclidei. Prodotti scalari, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, norma associata a un prodotto scalare, ortogonalità e angolo tra due vettori. Basi ortonormali, metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, coordinate lineari ortogonali. Sottospazi ortogonali, proiezioni ortogonali, riflessioni, dualità euclidea. Isometrie, forma canonica, gruppo ortogonale O(n), gruppo ortogonale speciale SO(n). Diagonalizzazione di operatori simmetrici e forme bilineari simmetriche, teorema spettrale. Spazi vettoriali euclidei complessi, prodotti hermitiani, automorfismi unitari e loro diagonalizzazione, operatori hermitiani e teorema spettrale.
Geometria euclidea. Spazi euclidei, distanza euclidea e misura degli angoli, isometrie e similitudini. Spazio euclideo numerico Eⁿ, riferimenti e coordinate ortogonali, cambiamenti di riferimento. Sottospazi euclidei, distanza tra sottospazi paralleli, angolo tra sottospazi, ortogonalità. Trasformazioni euclidee, gruppo euclideo E(n), gruppo euclideo speciale SE(n), struttura dei gruppi euclidei. Classificazione euclidea, invarianti euclidei. Classificazione euclidea delle quadriche, riduzione a forma canonica.