Definizioni di base. Nodi, orientazioni, equivalenza topologica e isotopica. Nodi docili, intorni tubolari topologici, nodi lisci e poligonali. Deformazioni docili, estensione ad isotopie ambiente, defomazioni poligonali e deformazioni lisce. Classificazione di nodi lisci, nodi banali, caratterizzazione come bordi di dischi lisci. Nodi simmetrici e nodi invertibili. Diagrammi di nodi lisci e poligonali, esistenza a meno di perturbazioni, movimenti di Reidemeister. Banalizzazione di nodi mediante inversione di incroci, banalità dei nodi in Rn con n > 3. Gruppo G(K) di un nodo K, presentazione di Wirtinger, abelianizzazione e numero delle componenti. Classi speciali di nodi: tori torici, nodi Pretzel, nodi razionali. Somma connessa di nodi.
Invarianti numerici. Indice di allacciamento, invarianza isotopica, dipendenza dall'orientazione. Superfici di Seifert, costruzione basata sui diagrammi, simmetria dell'indice di allacciamento. K banale se e solo se G(K) abeliano se e solo se G(K) ≅ Z. Genere g(K) di un nodo K, K banale se e solo se g(K) = 0, additività del genere, decomposizione in nodi primi. Numero minimo di incroci c(K), K banale se e solo se c(K) = 0, tabelle dei nodi primi basate su c(K). Calcolo dell'indice di allacciamento sui diagrammi. Indice di contorcimento di un diagramma, invarianza per isotopia regolare. Nodi n-colorabili, invarianza isotopica della n-colorabilità. Nodi geometrici, numero di incroci medio e indice di contorcimento medio, indice di allacciamento e integrale di Gauss, teorema di White.
Polinomi di Kauffman e Jones. Parentesi di Kauffman, risoluzione di incroci e stati di un diagramma, formula ricorsiva sulle risoluzioni, invarianza per isotopia regolare. Polinomio di Kauffman PK(t), dipendenza dall'orientazione, polinomi di Kauffman di nodi simmetrici e somma connessa. Equazione caratteristica del polinomio di Kauffman. Polinomio di Jones VK(x), equazione caratteristica. Diagrammi alternanti, colorazioni a scacchiera, nodi alternanti e non-alternanti, polinomio di Jones di nodi alternanti, dimostrazione della congettura di Tait.
Trecce e polinomio di Jones in due variabili. Trecce e isotopia di trecce, gruppo Bn delle n-trecce. Spazio CnR2 delle n-configurazioni del piano, Bn come gruppo fondamentale dello spazio di CnR2. Trecce chiuse, teorema di Alexander, algoritmo di Vogel. Relazioni tra trecce e movimenti di Reidemeister, stabilizzazione di trecce, teorema di Markov. Rappresentazione simmetrica e sua deformazione di Burau, somma degli esponenti. Algebre di Hecke, teorema di struttura. Tracce sulle algebre di Hecke, polinomio di Jones in due variabili VK(x,y), equazione caratteristica, dipendenza dall'orientazione, polinomi VK(x,y) di nodi simmetrici e somma connessa.
Polinomio di Alexander-Conway e forme di Seifert. Forme e matrici di Seifert di un nodo orientato. Polinomio di Alexander ΔK(t), equazione caratteristica, calcolo basato sui diagrammi. Polinomio di Conway ∇K(y), equazione caratteristica, proprietà rispetto alle orientazioni, alle simmetrie e alla somma connessa. Relazione tra polinomio di Alexander-Conway e genere, segnature e nodi "slice".
Invarianti di Vassiliev. Nodi singolari, movimenti di isotopia liscia, inversione di incroci e singolarità doppie trasversali. Invarianti di Vassiliev, equazione caratteristica, invarianti di ordine finito, simboli. Diagrammi di Gauss, relazioni tra diagrammi e diagrammi base, calcolo degli invarianti di ordine finito. Teorema di Vassiliev-Kontsevich, polinomio di Conway e invarianti di Vassiliev. Grafi topologici nello spazio, movimenti di isotopia, grafi intrinsecamente annodati.
