I Parte - Topologia differenziabile
Strutture differenziabili. Funzioni
differenziabili tra aperti di Rn,
funzioni di classe Ck e C∞,
differenziale e matrice jacobiana, funzioni regolari e
diffeomorfismi, regola della catena, teoremi della
funzione inversa e della funzione implicita. Carte
differenziabili su una varietà, atlanti e strutture
differenziabili su varietà, strutture orientate e
orientabilità, orientazioni su varietà connesse.
Applicazioni differenziabili, partizioni dell'unità
differenziabili, approssimazioni differenziabili di
funzioni continue. Diffeomorfismi tra varietà,
diffeomorfismi locali e orientazioni, orientabilità
degli spazi proiettivi. Sottovarietà differenziabili,
equazioni e parametrizzazioni locali regolari,
sottovarietà differenziabili di Rn,
teorema di immersione differenziabile in Rn.
Calcolo sulle varietà. Vettori tangenti
(germi di curve e derivazioni), spazi tangenti,
applicazioni tangenti. Fibrato tangente, orientazione
canonica, fibrato normale di una sottovarietà, intorni
tubolari. Teorema di Sard, teorema di approssimazione
trasversale. Campi di vettori, curve integrali, campi
di riferimenti, campi di riferimenti adattati lungo
sottovarietà. Curve integrali di campi di vettori,
gruppi di trasformazioni locali a un parametro,
derivate di Lie e parentesi di Lie, campi di
riferimenti coordinati. Spazi cotangenti, applicazioni
cotangenti. Fibrato cotangente, orientazione canonica.
Forme differenziali lineari, differenziale di
funzioni. Algebra esterna delle forme differenziali,
differenziale esterno, forme chiuse e forme esatte,
lemma di Poincaré. Forme di volume e orientazioni,
forma duale di una sottovarietà, prodotto esterno di
forme, intersezione di sottovarietà trasversali.
Chiusi ammissibili e catene differenziabili, bordo di
una catena, integrazione sulle catene differenziabili,
teorema di Stokes generalizzato.
Topologia delle varietà. Varietà
differenziabili con bordo, restrizione delle
orientazioni al bordo. Teorema di immersione di
Whitney per varietà con bordo, esistenza e unicità dei
collari del bordo. Punti critici regolari, funzioni di
Morse sulle varietà con bordo compatte, lemma di
Morse. Indice di un punto critico, decomposizioni a
manici, decomposizione duale. Grado di applicazioni
tra varietà, applicazioni su sfere e teorema di Hopf,
teorema di separazione per ipersuperfici di Rn.
Campi di vettori con singolarità isolate, indice di
una singolarità isolata, teorema di Poincaré-Hopf.
Triangolazioni lisce, caratteristica di
Eulero-Poincaré, esistenza di campi di vettori non
singolari, parallelizzabilità delle 3-varietà
orientabili. Coomologia di De Rham, invarianza
omotopica, successione di Mayer-Vietoris, coomologia
delle sfere, teorema del punto fisso di Brouwer,
teorema di invarianza del dominio.
II Parte - Geometria differenziale
Metriche riemanniane.
Metriche riemanniane ed elementi di lunghezza, spazi
modello (metriche euclidee, sferiche e iperboliche).
Esistenza di metriche riemanniane sulle varietà,
metriche riemanniane indotte su sottovarietà. Campi di
riferimenti ortogonali, esistenza locale, campi di
riferimenti coordinati ortogonali e caratterizzazione
delle metriche euclidee. Applicazioni isometriche e
conformi, isometrie e conformità, similitudini.
Dualità riemanniana tra campi di vettori e forme
differenziali lineari, formule di innalzamento e
abbassamento degli indici, gradiente di funzioni,
dualità tra fibrato tangente e cotangente. Elementi di
volume riemanniani, misura di angoli, lunghezze,
volumi. Distanza geodetica, compatibilità con la
topologia.
Connessioni e geodetiche. Connessioni affini,
connessione di Levi-Civita, esistenza e unicità,
simboli di Christoffel. Trasporto parallelo, campi di
vettori paralleli, campi di riferimenti paralleli e
caratterizzazione delle metriche euclidee. Geodetiche,
applicazione esponenziale, intorni convessi e
coordinate normali, rigidità delle isometrie.
Minimalità locale della lunghezza, equazioni di
Eulero-Lagrange. Completezza geodetica, teorema di
Hopf-Rinow. Derivata covariante in sottovarietà
riemanniane, sottovarietà invarianti per isometrie,
sottovarietà totalmente geodetiche, geodetiche e
isometrie degli spazi modello.
Curvatura. Curvatura di Riemann, invarianza
per isometrie, simmetrie e identità di Bianchi,
proprietà tensoriale, curvature sezionali. Curvatura
di Ricci e curvatura scalare. Curvatura delle
sottovarietà riemanniane, seconda forma fondamentale,
equazioni di Gauss, Codazzi e Ricci. Varietà a
curvatura costante, omogeneità e isotropia locale,
classificazione locale e globale.
