Richiami di topologia. Spazi topologici, proprietà topologiche (separazione, numerabilità, compattezza, connessione), omotopia, gruppo fondamentale, rivestimenti, teorema di Seifert-Van Kampen.
Topologia del piano e dello spazio. Teorema del punto fisso di Brouwer per il disco, teorema di Borsuk-Ulam per la sfera. Curve di Jordan, indice di allacciamento, teoremi di Jordan e di Schönflies. Teorema di invarianza dei domini piani e della dimensione. Nodi nello spazio, gruppi dei nodi.
Curve e superfici topologiche. Varietà topologiche, carte locali e atlanti (sfere e proiezioni stereografiche, spazi proiettivi e carte affini), carte speciali, atlanti numerabili, metrizzabilità, teorema di immersione in spazi euclidei. Classificazione delle curve. Somma connessa di superfici, genere delle superfici orientabili e non orientabili, poligonazioni, caratteristica di Eulero-Poincaré, classificazione delle superfici chiuse, gruppi fondamentali delle superfici chiuse.
Richiami di geometria delle superficie nello spazio. Operatore di forma e curvature, teorema “egregium” di Gauss, superfici a curvatura costante, derivata covariante, curvatura di curve in superfici, geodetiche.
Geometria delle superfici riemanniane. Metriche riemanniane, misura di lunghezze, angoli e aree, isometrie, conformità e similitudini. Metriche euclidee, sferiche e iperboliche. Derivata covariante, trasporto parallelo. Geodetiche, applicazione esponenziale, coordinate normali, completezza geodetica, rigidità delle isometrie. Curvatura riemanniana, superfici a curvatura costante, teorema di Minding, superfici modello (piano euclideo, sfera e piano iperbolico). Curve in superfici riemanniane, curvatura geodetica, teorema fondamentale generalizzato. Teorema di Gauss-Bonnet. Geodetiche e isometrie delle superfici modello, modelli riemanniani delle geometrie piane.