Strutture differenziabili. Funzioni differenziabili tra aperti euclidei, funzioni regolari e diffeomorfismi, teoremi della funzione inversa e della funzione implicita. Atlanti e strutture differenziabili su varietà, orientazioni e strutture orientate, applicazioni differenziabili e diffeomorfismi tra varietà. Partizioni dell'unità differenziabili, approssimazioni differenziabili di funzioni continue. Sottovarietà differenziabili, sottovarietà differenziabili spazi euclidei (equazioni e parametrizzazioni regolari), teorema di immersione differenziabile in spazi euclidei.
Calcolo su varietà. Vettori tangenti (germi di curve e derivazioni), spazi tangenti, applicazioni tangenti. Campi di vettori, curve integrali, campi di riferimenti, campi di riferimenti adattati lungo sottovarietà, parentesi di Lie e campi di riferimenti coordinati. Spazi cotangenti, applicazioni cotangenti. Forme differenziali lineari, differenziale di funzioni. Dualità tra campi di vettori e forme differenziali lineari. Algebra esterna delle forme differenziali, differenziale esterno, forme chiuse e forme esatte.
Topologia delle varietà. Varietà differenziabili con bordo, teorema di immersione di Whitney. Funzioni di Morse, decomposizioni a manici. Grado di applicazioni tra varietà, applicazioni su sfere e teorema di Hopf, teorema del punto di fisso, teorema di invarianza del dominio, teorema di separazione per ipersuperfici differenziabili in spazi euclidei. Singolarità di campi di vettori, teorema di Poincaré-Hopf, esistenza di campi di vettori non singolari.

E. Sernesi, Geometria 2, Boringhieri
V. Guillemin e A. Pollack, Differential topology, Prentice-Hall

B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko e S.P. Novikov, Geometria contemporanea, Ed. Riuniti
J.W. Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, Univ. Press of Virginia
I. Madsen e J. Tornehave, From Calculus to Cohomology, Cambridge Univ. Press
M. Spivak, Calculus on Manifolds, Benjamin Inc.