Definizioni di base. Nodi e link, orientazioni, equivalenza topologica e isotopica (isotopia ambiente). Esempi di nodi selvaggi e deformazioni selvagge. Nodi docili, intorni tubolari topologici, rappresentazione come nodi lisci e poligonali a meno di isotopie. Deformazioni docili, estensione ad isotopie ambiente, defomazioni poligonali e deformazioni lisce. Classificazione di nodi lisci, diffeomorfismi e orientazioni dello spazio, diffeomorfismi che conservano l'orientazione sono realizzabili mediante isotopie. Nodi banali, K banale se e solo se bordo di un disco docile. Nodi simmetrici e nodi invertibili. Diagrammi di nodi lisci e poligonali, esistenza a meno di isotopie, determinazione del nodo a meno di isotopie verticali, movimenti di Reidemeister. Banalizzazione di nodi e di diagrammi mediante inversione di incroci, banalità dei nodi dimensione diversa da 3. Gruppo di un nodo, presentazione di Wirtinger, abelianizzato e numero delle componenti. Esempi di classi di nodi: tori torici, nodi Pretzel, nodi razionali. Somma connessa di nodi.
Invarianti numerici. Indice di allacciamento tra nodi orientati, invarianza isotopica (link di Hopf non banale), dipendenza dall'orientazione, nodi separati
hanno indice di allacciamento nullo, ma non viceversa (link di Whitehead, anelli di Borromeo). Superfici di Seifert, costruzione basata sui diagrammi, simmetria dell'indice di allacciamento. K banale se e solo se G(K) abeliano se e solo se G(K) = Z (lemma del cappio). Genere di un nodo, un nodo è banale se e solo se ha genere 0, additività del genere, decomposizione in nodi primi. Numero minimo di incroci necessari per rappresentare un nodo, tabelle dei nodi primi basate su diagrammi. Calcolo dell'indice di allacciamento sui diagrammi. Indice di contorcimento di un (diagramma di un) nodo, invarianza per isotopia regolare. Nodi n-colorabili, invarianza isotopica della n-colorabilità, esempi di nodi non equivalenti. Nodi geometrici, numero di incroci medio e indice di contorcimento medio, indice di allacciamento e integrale di Gauss, indice di attorcigliamento per nodi paralleli, teorema di White.
Polinomi di Kauffman e Jones. Parentesi di Kauffman, risoluzione di incroci e stati di un diagramma, formula ricorsiva sulle risoluzioni, invarianza per isotopia regolare. Polinomio di Kauffman, dipendenza dall'orientazione, polinomi di Kauffman di nodi simmetrici e somma connessa. Equazione caratteristica del polinomio di Kauffman, parità delle potenze che vi appaiono. Polinomio di Jones, equazione caratteristica, esempi (non simmetria dei nodi
trifoglio). Diagrammi alternanti, colorazioni a scacchiera, nodi alternanti e non-alternanti, proprietà del polinomio di Jones di nodi alternanti, dimostrazione della congettura di Tait.
Trecce e polinomio di Jones in due variabili. Trecce e isotopia di trecce, gruppo n-trecce. Spazio delle n-configurazioni del piano, rivestimento delle n-uple ordinate (coefficienti e radici di polinomi complessi), permutazione associata ad una treccia, non commutatività dei gruppi delle n-trecce per n > 2. Trecce chiuse, teorema di Alexander, algoritmo di Vogel. Relazioni tra trecce e movimenti di Reidemeister, stabilizzazione di trecce, teorema di Markov. Rappresentazioni del gruppo delle trecce, rappresentazione simmetrica e sua deformazione di Burau, somma degli esponenti. Algebre di Hecke, teorema di struttura (forma normale). Tracce sulle algebra di Hecke, polinomio di Jones in due variabili, equazione caratteristica, dipendenza dall'orientazione, polinomi di nodi simmetrici e somma connessa.
Polinomio di Conway e forme di Seifert. Polinimio di Conway, equazione caratteristica, proprietà rispetto alle orientazioni, alle simmetrie a alla somma connessa. Polinomio di Alexander, calcolo basato sui diagrammi. Forme e matrici di Seifert di un nodo orientato. Derivazione del polinomio di Conway dalle forme di Seifert, relazione tra polinomio di Conway e genere, polinomio di Conway e segnatura di nodi "slice".
Invarianti di Vassiliev. Nodi singolari, movimenti di isotopia liscia, inversione di incroci e singolarità doppie trasversali. Invarianti di Vassiliev, equazione caratteristica e conseguenze, invarianti di ordine finito, simboli. Diagrammi di Gauss, relazioni tra diagrammi e diagrammi base, determinazione dei diagrammi base di ordine 2, 3 e 4, calcolo degli invarianti di ordine finito. Teorema di Vassiliev-Kontsevich, polinomio di Conway e invarianti di Vassiliev. Grafi topologici nello spazio, movimenti di isotopia, grafi intrinsecamente annodati nello spazio.
